双馈风机特征值分析的建模与模态分析
Modeling and Modal Analysis of Eigenvalues Analysis of DFIG
收稿日期: 2019-03-05
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Received: 2019-03-05
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秦浩宇, 苏勋文, 杨福宝, 叶圣瞳.
QIN Haoyu, SU Xunwen, YANG Fubao, YE Shengtong.
0 引言
风力发电是利用新能源的主要方式之一,然而,目前电网还是存在一定的弃风现象,究其原因是对于风电技术的研究还不够成熟。实际已经发生一些事故,如2015年新疆哈密风电场发生次同步振荡,导致相邻火电机组保护动作,表明类似的问题亟待进一步研究解决。
1 DFIG模型的建立
1.1 风机空气动力学模型
当风以速度Vw穿过横扫面积为S的桨叶时,风力机吸收的功率Pt可表示为
式中:ρ为空气密度;Cp为风能利用系数,Cp是关于桨距角β和叶尖速比λ的函数。
叶轮转矩Tt由吸收的功率和风机的转速ωt计算得到:
表1 不同风速下叶轮转速与转矩
Table 1
风速Vw/(m·s-1) | 转速ωt/pu | 转矩Tt/pu |
7 | 0.75 | 0.43 |
8 | 0.85 | 0.58 |
9 | 0.95 | 0.73 |
10 | 1.05 | 0.90 |
11 | 1.15 | 1.09 |
1.2 轴系模型
其中:
轴系方程中,ωt、ωr分别为叶轮、发电机转子转速,Ttg为两质量块内部转矩,Tt、Te分别为叶轮转矩和发电机电磁转矩,Ht、Hg为叶轮和发电机的惯性常数(s),Dt、Dg为对应的阻尼系数,Ktg、Dtg为两质量块间的弹性系数和阻尼系数。
1.3 感应电机模型
dq同步旋转坐标系下的6阶异步感应电机方程[11]如下:
其中:
式中:iqs、ids、uqs和uds分别为感应电机定子的dq轴电流、电压;iqr、idr、uqr和udr分别为转子的dq轴电流、电压;其他为零序电流、电压分量。
式中:Xls、Xlr和XM分别为定、转子漏抗和互感电抗;Rs、Xss分别为定子电阻、电抗;Rr、Xrr分别为转子电阻、电抗;ωb为基准角速度;ωe为旋转坐标角速度。
1.4 变流器部分模型
式中:C为换流器电容值;UDC为电容电压;Pr、Pg为转子侧和网侧有功功率。
1.5 串补网络模型
对线路进行串联补偿,能增大电能传输距离与容量,但随着串补度K的增加,也带来了系统谐振的风险,下文对次同步的分析也与串补密切相关。包含4个状态变量的串补网络动态微分方程如下:
其中:
式中:iq、id分别为线路dq轴电流;ucq、ucd分别为串补电容两端电压;Eq、Ed为无穷大母线电压。
2 Simulink下特征值分析
2.1 模型搭建
本文在Simulink平台下搭建图形化动态模型,主要用到元件库中的Matlab Function block(下文用fcn代替)。在原始动态微分方程不变的情况下,将其以一种可视化的形式呈现。
在画布中拉入一个fcn模块,根据式(8)—(14)输入后,命名为“A_DFIG fcn”;同理,完成输入矩阵与输入变量的自定义,命名为“B_ DFIG fcn”。根据式(8),加入求和、积分及变量分离模块后,感应电机的Simulink模型如图6所示。
对于所研究系统的轴系模块、串补网络、RSC和GSC等的搭建,参照DFIG模型搭建的过程,结合式(3)、(15)、(16)即可完成。
2.2 特征值分析
在风速为7 m/s,串联补偿度为30%的条件下,对系统进行特征值分析。这部分主要用到3个Matlab命令语句:fsolve、linmod与eig,分别对应状态变量的初值求解、模型线性化与求取状态矩阵特征值的功能。
fsolve是Matlab中求解非线性方程组的语句,其基本原理是最小二乘法。这里用来求解状态变量的初值,待求解的微分方程组由式(8)、(16)以及如下各有功、无功之间的关系式构建:
式中:PS0、QS0为定子初始有功、无功功率;Pr0、Qr0、Pg0和Qg0分别为转子侧、网侧换流器初始有功、无功功率;PL0、QL0为传输线路初始有功、无功功率。各有功、无功功率流向如图1所示。
表2 风速7 m/s、串补30%系统状态变量初值
Table 2
变量名 | 初值/pu | 变量名 | 初值/pu |
iqs0 | -0.850 6 | ids0 | 0.240 8 |
iqr0 | 0.938 3 | idr0 | -0.006 8 |
iql0 | 0.851 2 | idl0 | -0.240 2 |
uqc0 | 0.046 1 | udc0 | 0.163 4 |
uqr0 | 0.236 2 | udr0 | -0.110 1 |
uqg0 | 0.943 2 | udg0 | -0.267 1 |
linmod是提取系统稳态运行点附近、连续时间线性状态空间模型的语句。在将2.1节所建模型线性化的同时,可得到系统A、B、C和D矩阵。
针对状态矩阵A,利用Matlab中的eig语句便可得系统的特征值。表3为当前工况下系统各模态及其对应的特征值。
表3 风速7 m/s、串补30%下的系统特征值
Table 3
模态 | 特征值 | 模态 | 特征值 |
λ1,2 | -2 721.0±j133 8.4 | λ15 | 0.0 |
λ3,4 | -10.0±j575.1 | λ16 | 0.0 |
λ5,6 | -5.8±j177.5 | λ17 | 0.0 |
λ7,8 | -6.8±j93.8 | λ18 | 0.0 |
λ9,10 | -8.4±j3.4 | λ19 | 0.0 |
λ11 | 1.0 | λ20 | 0.0 |
λ12,13 | -0.4±j6.2 | λ21 | -19.9 |
λ14 | -0.5 | λ22 | -20.8 |
2.3 参与因子
求解参与因子离不开特征值所对应的左右特征向量。第i个左特征向量表征了状态变量对第i个模态的贡献大小,体现的是“可观性”;第i个右特征向量表征的是状态变量中第i个模态的活跃程度,体现的是“可控性”。参与因子可通过下式得到:
式中:Pki为第k个状态变量与第i个模态的参与因子,反映了状态变量对模态的强可观强可控,是一个综合性指标;Zi和Yi分别为第i个模态的左右特征向量。
值得注意的是,通常所说的特征向量一般指右特征向量。而针对左特征向量的求解有两种方法:一种是先求状态矩阵A的转置的右特征向量,再将其转置即为左特征向量;另一种方法是直接将右特征向量求逆再转置即为左特征向量。由于代数精度问题,Matlab中二者求得的左特征向量会有细微差别,但是不影响问题的分析。本文中采用第1种方法求取左特征向量。
表4为部分系统状态变量对应的参与因子,为便于后续模态分析,其中较大值已加粗表示。
表4 部分系统状态变量对应的参与因子
Table 4
状态变量 | 参与因子 | ||||
模态λ1,2 | 模态λ3,4 | 模态λ5,6 | 模态λ7,8 | 模态λ12,13 | |
iqs | 0.239 7 | 0.208 9 | 0.240 5 | 0.235 9 | 0.000 9 |
ids | 0.281 5 | 0.210 8 | 0.2400 | 0.241 7 | 0.009 6 |
i0s | 0.000 0 | 0.000 0 | 0.000 0 | 0.000 0 | 0.000 0 |
iqr | 0.179 5 | 0.192 7 | 0.237 0 | 0.256 6 | 0.001 0 |
idr | 0.220 7 | 0.194 6 | 0.236 6 | 0.263 0 | 0.011 0 |
i0r | 0.000 0 | 0.000 0 | 0.000 0 | 0.000 0 | 0.000 0 |
ucq | 0.038 7 | 0.040 4 | 0.009 6 | 0.000 6 | 0.000 0 |
ucd | 0.038 7 | 0.040 4 | 0.009 6 | 0.000 6 | 0.000 4 |
iq | 0.000 3 | 0.056 1 | 0.013 2 | 0.000 4 | 0.000 2 |
id | 0.000 3 | 0.056 1 | 0.013 2 | 0.000 4 | 0.000 0 |
UDC | 0.000 4 | 0.000 0 | 0.000 0 | 0.000 0 | 0.002 4 |
ωt | 0.000 0 | 0.000 0 | 0.000 0 | 0.000 0 | 0.400 5 |
ωr | 0.000 0 | 0.000 0 | 0.000 1 | 0.000 6 | 0.087 4 |
Ttg | 0.000 0 | 0.000 0 | 0.000 0 | 0.000 0 | 0.485 0 |
3 模态分析
3.1 机电模态和轴系模态
表5 不同风速、串补度下模态λ7,8的特征值
Table 5
串补度/% | 模态λ7,8的特征值 | ||
风速7 m/s(45 Hz) | 风速8 m/s(51 Hz) | 风速9 m/s(57 Hz) | |
30 | -6.753±j93.821 | -6.113 5±j56.836 | -6.879±j20.702 |
40 | -9.314±j93.018 | -7.275±j56.597 | -7.519±j20.570 |
50 | -14.675±j89.429 | -9.288±j56.111 | -8.450±j20.371 |
由表4可知λ12,13与叶轮转速ωt以及两质量块间转矩Ttg强相关,因此将其识别为轴系模态,轴系振荡频率很低,约0.95 Hz。
3.2 次同步和超同步模态
系统的自然振荡频率为
式中:fs为系统工频;XC为系统容抗;XL为系统感抗。次同步振荡频率为fs-fn,超同步振荡频率为fs+fn。
因此,串补为30%时的自然频率为32.86 Hz,次同步频率为27.14 Hz(60-32.86=27.14 Hz),超同步频率为92.86 Hz。与之对应的是模态λ5,6,频率为28.25 Hz(177.5/2π),模态λ3,4频率为91.53 Hz。故将λ5,6识别为次同步模态,λ3,4识别为超同步模态。
表6列出了不同风速与串补度下的次/超同步模态,可看出:超同步模态实部均为负;而次同步模态在7 m/s,串补度由45%变为50%时,实部变为正数,振荡发散,变为不稳定。也因此,少有人研究超同步振荡,而把重点放在次同步振荡上。
表6 不同风速及串补度下次/超同步模态特征值
Table 6
风速/(m·s-1) | 串补度/% | 次同步模态特征值 | 超同步模态特征值 |
7 | 45 | -1.896±j133.828 | -11.340±j619.511 |
7 | 50 | +0.881±j122.866 | -11.798±j632.600 |
7 | 55 | +3.507±j114.827 | -12.256±j645.047 |
7 | 60 | +4.950±j109.180 | -12.713±j656.937 |
8 | 50 | -4.867±j119.071 | -11.722±j632.613 |
8 | 55 | -3.541±j106.788 | -12.177±j645.059 |
8 | 60 | -1.534±j 95.626 | -12.631±j656.949 |
9 | 50 | -7.048±j118.647 | -11.801±j632.603 |
9 | 55 | -6.695±j105.992 | -12.268±j645.049 |
9 | 60 | -6.147±j 93.937 | -12.735±j656.939 |
图8为不同风速、串补度下次同步模态的频率和阻尼比关系图,K由25%开始,间隔为5%依次递增至90%。可观察到K增加或风速减小,都会导致阻尼比减小,使系统存在次同步振荡风险。
图9反映改变转子侧换流器控制参数对次同步模态的影响,分别使Kp和Ki参数中的一个不变,增加另一个的值。可发现,当控制参数增加到一定数值后,阻尼比呈现负值,系统次同步模态不稳定。
4 结语
本文列写了双馈风机单机无穷大系统的动态微分方程组,包括轴系、发电机、串补网络和控制环节等在内的22个状态变量。基于Simulink平台搭建了用于双馈风机特征值分析的fcn模型,详细介绍了包括模型搭建,及运行初值、特征值与参与因子计算在内的过程。通过模态分析,识别出了机电模态、轴系模态和次/超同步模态,并通过改变风速、串补度和控制参数,验证了关于次同步振荡的一般性结论。所做工作对于今后的研究有基础性意义。
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